HT.TCC: Người Mỹ dạy gì cho trẻ mẫu giáo? (Môn toán)

Lưu ý: Nội dung blog này đề cập các vấn đề liên quan đến học & dạy môn toán. Nếu có đề cập các môn học khác sẽ được nói rõ, nếu không thì các nội dung sẽ mặc định là nói về môn toán.

Hệ thống tiêu chuẩn chung của Mỹ (HT.TTC) quy định chi tiết các yêu cầu về kiến thức và kỹ năng cần thiết mà hoc sinh cần hiểu và có thể làm đối với học sinh ở mỗi lứa tuổi, mỗi lớp từ mẫu giáo đến hết phổ thông trung học.

Bài viết này sẽ phỏng dịch và giới thiệu các tiêu chuẩn đối với trẻ trước khi vào lớp 1 (kindergaten grade, hay grade K). Có thể sẽ là cung cấp gợi ý nào đó cho các phụ huynh muốn chuẩn bị cho con vào lớp 1.

Mô tả

Các nội dung chính trên lớp cần tập trung vào 2 lĩnh vực: 1) biểu diễn và so sánh các giá trị số nguyên với tập hợp các thực thể (set of objects); 2) mô tả các hình dạng (shapes) và không gian (space).

(1) Biểu diễn và so sánh các giá trị số nguyên

Học sinh sử dụng các con số để biểu diễn số lượng và làm các bài tập về số lượng như: đếm số các vật thể trong một tập hợp, lấy ra các quả cam bằng số lượng cho trước, so sánh số lượng trong 2 hộp đựng các viên bi,...

Ngoài ra cũng được làm quen với việc gộp và tách 2 tập hợp như: gom số bóng từ 2 rổ vào một hoặc chia một hộp bút chì thành 2,... từ đó hình thành khái niệm các phép cộng, trừ. Ví dụ: 4 + 3 = 7 hay 8 - 5 = 3. Học sinh có thể được xem cách biểu diễn các phép toán cộng, trừ dưới dạng viết như trên. (Việc học sinh tự viết các phép toán được khuyến khích nhưng không bắt buộc).

Học sinh có thể lựa chọn, kết hợp và áp dụng các chiến lược phù hợp cho việc trả lời câu hỏi định lượng, bao gồm cả việc làm quen với số lượng các phần tử trong tập hợp, đếm và tự tạo các tập hợp với số lượng phần tử cho trước, đếm số lượng các phần tử trong khi gộp các tập hợp, hoặc đếm số lượng các phần tử còn lại sau khi đã loại bỏ một số phần tử.

(2) Tìm hiểu hình dạng và không gian

Học sinh học cách mô tả các khái niệm hình học cơ bản: hình dạng, phương hướng, các liên kết & quan hệ trong không gian (trên, dưới, phải trái, trong, ngoài,...) và làm quen với những từ vựng - tên gọi của các hình/khối: hình tròn, vuông, tam giác, hình chữ nhật, khối cầu, khối lập phương, hình nón,... nói chung là các khái niệm cơ sở hình học phẳng và hình học không gian.

Các hình khối hình học trên có thể được học sinh nhận biết ở các phương hướng/kích thước khác nhau. Từ đó có thể làm quen với các hình khối phức tạp hơn, ví dụ hình ngôi nhà có thể có tường hình chữ nhật, mái hình tam giác, cửa sổ hình tròn,... Tất cả được giới thiệu trong môi trường sống của trẻ em, với các quan hệ nhìn thấy được trong không gian.

Toán học - lứa tuổi mẫu giáo (ảnh sưu tầm)

Các yêu cầu cụ thể

1. Số & số lượng phần tử

• Đọc tên các số nguyên và số lượng phần tử trong một tập hợp nhỏ
• Đếm và xác định số lượng các vật thể cụ thể (ví dụ: 7 viên bi)
• So sánh các số

2. Phép toán và tư duy đại số

• Hiểu phép cộng như thêm phần tử vào tập hợp (thêm một số viên bi vào hộp)
• Hiểu phép trừ như lấy bớt một số phần tử

3. Các số và phép toán cơ số 10

• Có thể làm việc với các số từ 11 -> 19
• Làm quen dần cách biểu diễn các số bằng ký hiệu thập phân  

4. Làm quen với kích thước & so sánh

• Có thể mô tả các đặc tính đo được (dài, ngắn, cao, thấp, to nhỏ)
• Phân biệt các vật thể khác nhau và đếm theo từng loại

5. Hình học

• Xác định, nhận biết các hình khối
• Phân tích, tạo, lắp ghép hình khối

Thực hành

• Học cách cảm nhận vấn đề và tập giải quyết vấn đề
• Học cách suy luận về số lượng & khái niệm
• Học cách nhận xét và tranh luận về suy luận của người khác
• Bước đầu làm quen các mô hình toán học
• Học cách sử dụng các công cụ đã có một cách có tính toán
• Lưu ý đến tính chính xác
• Tìm tòi và khai thác các cấu trúc cơ bản
• Tìm hiểu các quy luật lặp lại trong quá trình suy luận

Lời bình

Rõ ràng môn toán học đối với lứa tuổi mẫu giáo đã không hề đơn giản. Đằng sau các trò chơi với các vật thể cụ thể như viên bi, bút chì, ngôi sao, mẩu gỗ,... là cả một hệ thống khoa học nhằm trang bị và hình thành cho trẻ một phương pháp tư duy toán học chuẩn mực. Không phải các bài toán khó làm đau đầu cả bố mẹ chúng mà một hệ thống được thiết kế tốt mới giúp trẻ phát triển năng lực và tiếp thu dễ dàng môn toán trong các lứa tuổi tiếp theo.

  

Common Core Standards - Các tiêu chuẩn chung cơ bản cho môn toán trong trường học của Mỹ

Đây là bài tham khảo dựa trên các tài liệu liên quan nhằm giới thiệu về xu hướng mới được áp dụng trong việc dạy & học môn toán tại các trường phổ thông ở Mỹ với hệ thống tiêu chuẩn chung được áp dụng tại 44 bang. Bài viết này & các bài viết liên quan chủ yếu nhằm giới thiệu các nét khái quát nhất về ý tưởng chung của hệ thống cũng như về các tiêu chuẩn được áp dụng từ mẫu giáo, lớp 1, lớp 2,... đến hết phổ thông trung học (high-school). 

Hệ thống tiêu chuẩn chung (TCC) là gì?

Đây là hệ thống các quy định chung, chuẩn cho từng lứa tuổi, từng bộ môn toán học (số học, đại số, hình học,...) nó quy định những điểm căn bản:

• Những gì học sinh cần phải hiểu
• Những gì học sinh có thể làm

Điểm khác biệt căn bản là hệ thống TTC mới không chỉ giới hạn việc học (và dạy) toán học như một môn khoa học lý thuyết thuần tuý. TTC hướng đến việc tích luỹ các kiến thức, kỹ năng toán học song song với việc phát triển khả năng ứng dụng chúng để giải quyết các vấn đề thực tiễn.

TTC ảnh hưởng đến việc học của học sinh & việc dạy của thày/cô giáo

TTC quy định những học sinh không chỉ biết những quy luật, khái niệm, phương pháp toán học mà còn cần phải hiểu chúng, có khả năng giải quyết các vấn đề thực tiễn liên quan đến chúng. Điều này có nghĩa là TTC cũng yêu cầu giáo việc có khả năng đánh giá được học sinh hiểu đến đâu và khả năng ứng dụng thế nào?

Một trong những phương pháp để giáo viên có thể làm được điều đó là yêu cầu học sinh (tuỳ theo trình độ của học sinh tại mỗi lứa tuổi) "phát minh" các mệnh đề hay quy luật toán học, hoặc nghiên cứu/tìm hiểu xem các mệnh đề/quy luật toán học đến từ đâu trong cuộc sống?

Thay vì thụ động tiếp thu các phát minh toán học đã có, học sinh được hướng dẫn để "tự mình phát minh" ra các quy luật toán học. Như vậy học sinh không chỉ biết, hiểu các quy luật toán học mà còn học các phương pháp toán học, để có thể áp dụng khi giải quyết các vấn đề thực tiễn. Cả kiến thức & phương pháp đều có tầm quan trọng trong việc học toán.

Bìa tài liệu " Common Core State Standards" for Mathematics

Đây là một hệ thống rất thú vị và bao hàm nhiều vấn đề liên quan đến toàn bộ việc học toán, dạy toán và phát triển tư duy toán học cho học sinh từ lứa tuổi mẫu giáo đến hết phổ thông. Việc nghiên cứu hệ thống này ở những mức độ khác nhau có thể sẽ rất có ích cho mọi đối tượng: các nhà quản lý giáo dục, các nhà nghiên cứu, giáo viên, học sinh, phụ huynh.

Có thể thêm khảo chi tiết tại đây: Mathematics Standards

Bàn & Luận: định hướng cho giáo dục & phát triển con người

Bài này không đề cập đến hệ thống giáo dục mà chỉ bàn về từng cá nhân cụ thể. Có thể là chính bạn, hoặc người rất gần gũi của bạn như con cái. Trong cuộc sống, rất nhiều khi cần có những định hướng đúng để có thể phát triển tốt nhất điểm mạnh, cá tính, điều kiện cụ thể của mỗi con người. Tạo cơ hội lớn nhất để thành công về lâu dài. Những tình huống cụ thực tiễn thể là:

• Chọn trường, chọn ngành khi vào đại học
• Bắt đầu một công việc kinh doanh nào đó
• Bắt đầu một giai đoạn hay một dự án quan trọng

Con người sinh ra là bình đẳng về các quyền cơ bản nhưng không giống nhau về năng lực tự nhiên, về tính cách, về điều kiện gia đình, xã hội,... Vì vậy rõ ràng là đối với mỗi người, để hiểu các điều kiện đó cân nhắc và định hướng đúng là rất quan trọng.

Thomas Edison có nói: tài năng = 1% trời phú + 99% nỗ lực
Tuy nhiên có thể với đa số mọi người thì công thức sau sẽ thích hợp hơn: N = A x B x C x D + E

Bàn: Năng lực chung của con người phân loại thế nào?

Trong đó N là năng lực để đạt đến một kết quả, thành công hay giá trị nào đó. Các tham số khác:

• A: năng khiếu trời phú (trí tuê, sức khoẻ,...)
• B: nỗ lực (học hỏi, rèn luyện)
• C: may mắn (bao gồm điều kiện gia đình)
• D: các yếu tố như điều kiện xã hội, tự nhiên
• E: mặt bằng/hạ tầng tối thiểu của xã hội

Các yếu tố D, E thường ở phạm vi lớn như quốc gia, vùng,... tạm thời sẽ không xét đến. Không làm giảm tính tổng quát có thể đặt D = constant = 1 & E = constant = 0. Như vậy ta sẽ có công thức được đơn giản hoá: N = A x B x C (*). Trong đó A, B, C có thể hiểu là hệ số so sánh tương đối, có giá trị từ 0% -> 100%, 

Điều thú vị là công thức (*) có thể áp dụng trong từng lĩnh vực, công việc cụ thể. Ví dụ có thể xét các lĩnh vực như: thể thao, văn học, hội hoạ, kiến trúc, kinh tế, toán học, vật lý, kỹ thuật, tin học, tài chính,...

Luận (1): định lượng các năng khiếu thiên bẩm

Trước hết, cần đơn giản hoá số liệu. Từ 0% -> 100% chỉ cần xét số nguyên cũng đã có 101 mức khác nhau. Thế là quá nhiều nếu thấy có đến 3 tham số và hàng chục lĩnh vực lớn khác nhau. Hơn nữa việc xác định là 7% hay 8% trong việc này là vô nghĩa. Vì vậy có thể chia ra mấy mức:

1. 0% nếu đánh giá là năng khiếu thuộc nhóm 10-15% thấp nhất
2. 20% nếu đánh giá là kém nhưng hơn được mức 1
3. 50% nếu đánh giá là thuộc diện trung bình
4. 80% nếu đánh giá là mức khá, hơn trung bình nhưng không giỏi
5. 100% nếu thực sự tin là mình có năng khiếu, hơn được 80% 

Để xác định mình hay con cái mình thuộc mức nào theo định mức trên đây thì rõ ràng không quá khó. Chỉ cần tương đối khách quan và theo dõi một quá trình nào đó. Đối trọng để so sánh có thể là các bạn cùng lớp, cùng trường, cùng cơ quan, trên mạng xã hội. Cẩn thận hơn thì có thể tìm kiếm và thực hiện một số bài test rồi tổng hợp tất cả các yếu tố trên lại.

Luận (2): làm gì với định lượng A đã tính

Nếu không tính được định lượng với tất cả các lĩnh vực quan trọng (làm được là tốt nhất), thì ít nhất bạn cũng nên làm cho đến khi có 2-3 lĩnh vực mà ở đó thuộc nhóm 4 hoặc 5. Luôn có những lĩnh vực như vậy. Nếu các lĩnh vực lớn không cho kết quả mong muốn thì chọn vài lĩnh vực lớn có kết quả tốt nhất, xong lại chia mỗi cái thành 3-5 lĩnh vực nhỏ hơn và tính tiếp. 

Câu hỏi: tại sao phải làm như vậy? Quá đơn giản, nếu bạn muốn kiểm tra lại thì dùng công thức (*) ở trên với giả thiết: phần đông mọi người sẽ có A = 50%; B = 50%; còn C giả sử là có may mắn như nhau thì trung bình cỡ 50%. (Chưa kể nếu chọn lĩnh vực mình kém, may mắn của bạn sẽ ít hơn). Khi đó rất nhiều người có cơ hội thành công là: Ntb = 0.5 x 0.5 x 0.5 = 12,5%. Giả sử bạn thuộc nhóm 2 với 20% năng lực, cố gắng 80% và may mắn 50%, cơ hội sẽ là: N = 0.2 x 0.8 x 0.5 = 8% < Ntb.

Tại sao lại chọn hướng đi mà cơ hội thành công của bạn nhỏ hơn trung bình trong khi bạn đã nỗ lực ở mức cao? Rõ ràng không ai chọn cho mình hay cho con cái mình hướng đó. Không ai quyết định sẽ thành là toán học nếu thực sự thấy mình chỉ thuộc nhóm học toán trung bình trở xuống.

Khi đã có 2-3 hướng tốt (4-5 càng tốt), làm gì tiếp?

Luận (3): Lĩnh vực nào có thể nỗ lực ở mức cao? Và có cơ hội tương đối công bằng?

Khi đó bắt đầu từ hướng có cơ hội cao nhất của tham số A, bạn tiếp tục xét đến các tham số B, C. Những tham số này phụ thuộc rất nhiều vào sở thích, tính cách, các điểm mạnh, điểm yếu khác của bạn cũng như điều kiện gia đình, giáo dục,.... Cách làm cơ bản như tham số A, với một chút khác biệt.

• Với tham số nỗ lực: bạn cũng cần xác định lĩnh vực mà ở đó bạn thuộc nhóm (4), điều này đòi hỏi bạn phải có sở thích, tính cách phù hợp.  
• Tham số C, may mắn. Cái này ngoài yếu tố ngẫu nhiên chưa biết, có nhiều yếu tố đã biết trước. Ví dụ: bạn có khiếu âm nhạc, bố mẹ là nhạc sĩ đấy là may mắn. Tất nhiên nên tìm lĩnh vực mà ở đó bạn có lợi thế (may mắn). Nếu không có cái nào mức 4, 5 thì ít nhất cũng phải là mức 3 (trung bình).

Trừ khi bạn rơi vào số rất ít những người có tài năng kiệt xuất & nỗ lực phi thường. Nói chung nếu bạn không chọn được lĩnh vực có lợi thế hơn người khác thì ít nhất cũng cố đừng lao vào chỗ mà ở đó bạn rõ ràng là bất lợi. 

Nếu bạn chọn được lĩnh vực mà ở đó:

• A >= 80%
• B >= 80%
• C >= 50%

Xin chúc mừng, bạn nên kiên định đi theo hướng đó. Nếu chưa tìm được, đơn giản là tìm tiếp. Đa số mọi người đều có thế mạnh ở lĩnh vực cụ thể nào đó. Miễn là tìm đúng lĩnh vực của mình. Khi đó cơ hội của bạn sẽ là: N >= 0.8 x 0.8 x 0.5 = 32%. Không quá ấn tượng phải không? Đừng thất vọng, với con số đó bạn đã có cơ hội lớn gấp 3 lần trung bình. Phần còn lại sẽ do các yếu tố: 

• may mắn hơn (nếu bạn gặp may, cơ hội sẽ tăng ngay lập tức)
• E, D: những vấn đề chưa xét đến, nhưng chắc chắn có ảnh hưởng

Kết luận

Trong những thời điểm quan trọng hay những công việc quan trọng, hãy tìm bằng được lĩnh vực hay hướng đi mà ở đó số N của bạn lớn hơn hoặc bằng 32%. Tất nhiên càng cao càng tốt. Đặc biệt là khi chọn ngành học, chọn hướng để phát triển năng lực bản thân.

Dạy toán cho trẻ: không phải dạy tính toán và ghi nhớ

Một tình huống đơn giản: đứa trẻ có 5 viên bi trong hộp và 3 viên khác trên mặt bàn. Câu hỏi tính toán là: 5 + 3 = ? còn vấn đề cần giải quyết là: tất cả có mấy viên bi. Nếu đứa trẻ chưa được học phép cộng nhưng đã biết đếm, nó sẽ giải quyết vấn đề một cách rất tự nhiên: đổ hết bi ra mặt bàn và đếm. Kết quả sẽ là 8 viên.

Bằng tư duy của người lớn, ta hay bắt đứa trẻ phải ghi nhớ: 5 + 3 = 8; rồi sau đó lại bắt đứa trẻ phải nhớ: 3 + 5 = 8; Hoàn toàn không cần thiết. Đứa trẻ sẽ tự biết là dù đổ bi từ hộp ra bàn, hay nhặt bi trong bàn cho vào hộp thì số bi nó có vẫn không đổi: 8 viên. Tính chất giao hoán của phép cộng được cảm nhận rất đơn giản.

Việc đổ bi ra mặt bàn để đếm hay nhặt tất cả các viên bi cho vào hộp rồi đếm có thể coi là các "chiến lược" khác nhau của đứa trẻ để giải quyết vấn đề là "tìm hiểu xem mình có mấy viên bi"!

Bây giờ nếu bỏ thêm một viên nữa. Đứa trẻ cũng sẽ hiểu ngay là nó có 9 viên bi. Dù viên đó được bỏ vào sau khi đã gộp chung 8 viên trước hay cho vào hộp trước khi gộp; hoặc là đặt lên mặt bàn (nơi đã có sẵn 3 viên). Rất đơn giản, khi đó sẽ có:

1. 8 viên bi + 1 viên bi = 9 viên bi
2. 6 viên bi + 3 viên bi = 9 viên bi
3. 5 viên bi + 4 viên bi = 9 viên bi
4. 5 viên bi + 3 viên bi + 1 viên bi = 9 viên bi

9 viên bi - sắp xếp cách nào cuối cùng vẫn có 9 viên bi

Nếu kết hợp với các hoán vị nữa sẽ có hàng chục phương án khác nhau, chỉ với các viên bi.

Hình học

Mộ ví dụ khác (trẻ lớn hơn một chút), khi làm quen với tam giác & diện tích tam giác. Việc ghi nhớ công thức tính diện tích tam giác S = 1/2 * h * a không phải là quá khó khăn đối với đứa trẻ. Tuy nhiên cách ghi nhớ khiến cho đứa trẻ không hoàn toàn hiểu bản chất của vấn đề cũng như việc ứng dụng công thức một cách linh hoạt.

Tam giác ABC: một nửa của hình bình hành ABCD và cũng là một nửa của hình chữ nhật BCEF

Nếu nhìn vào hình trên đây, đứa trẻ có thể dễ dàng hình dung tam giác ABC như:

1. "Cộng" của 2 tam giác ABH và ACH
2. "Một nửa" của hình bình hành ABCD
3. "Một nửa" của hình chữ nhật BCEF

Và có thể dễ dàng chứng minh những điều trên đây bằng việc cắt một tấm bìa mà không cần ghi nhớ bất cứ công thức nào cả. Cũng từ đó có thể dễ dàng tính ra diện tích tam giác ABC. Rõ ràng thay vì ghi nhớ công thức, việc tự tìm ra công thức thú vị và dễ dàng ghi nhớ hơn nhiều. Quan trọng hơn là, đứa trẻ có thể có những "chiến lược" khác nhau để làm được điều đó!

Những năm gần đây, ở Mỹ bắt đầu ứng dụng một hướng mới trong việc dạy toán cho trẻ em từ lớp 1. Thể hiện qua hệ thống tiêu chuẩn được gọi là "các chuẩn chung cơ bản" (common core standards). Ý tưởng chủ đạo là dạy toán không còn là dạy & luyện các "kỹ năng tính toán" nữa mà chuyển sang các kỹ năng lập chiến lược để giải quyết vấn đề. Tư tưởng này đã được triển khai tại California và 44 bang khác. 

Tất nhiên họ cũng gặp những khó khăn, đặc biệt là việc thay đổi cách nghĩ của giáo viên. Rất nhiều người nghĩ rằng toán học trong trường tiểu học là tính toán & ghi nhớ. Việc ghi nhớ chưa bao giờ là cách tốt nhất để học toán, nhưng nó lại rất thường gặp trong các tiêu chuẩn đang phổ biến, từ sách giáo khoa, bài tập cho đến việc thi cử và giảng dạy.

Tham khảo: Common Core standards bring dramatic changes to elementary school math

Vậy điều gì là khác nhau từ phía học sinh nếu được học theo tư duy truyền thống và tư duy chiến lược tìm giải pháp? Xét ví dụ về bài toán sau đây: tìm diện tích hình bình hành ABCD như hình vẽ, biết cạnh AB = 4 cm và cạnh BC = 7 cm.

Bài toán tìm diện tích hình bình hành ABCD; AB = 4 cm; BC = 6 cm

Theo phương pháp tính toán & ghi nhớ, học sinh sẽ coi đây là một hình vẽ thuần tuý, và các câu trả lời có thể sẽ là:

1. Bài toán thiếu dữ liệu, không giải được
2. Bài toán tổng quát, đáp án: 0 cm2 -> 28 cm2

Còn nếu theo phương pháp tư duy chiến lược tìm giải pháp cho vấn đề, học sinh sẽ cho đây là một miếng gỗ, hay miếng bìa có dạng hình bình hành như trong hình vẽ. Vấn đề đặt ra là: phải tìm diện tích của nó. Và có thể thiết lập các chiến lược khác nhau để giải quyết vấn đề đó:

1. Cắt nó ra, đặt lại thành hình chữ nhật, đo cạnh rồi tính
2. Đo góc ABC xem nó bằng bao nhiêu? (trường hợp này là ~ 66°)

Và nói chung sẽ tìm ra kết quả là diện tích của hình chữ nhật dù là công thức chính xác: S = 4 x 7 x sin(α) cho trường hợp tổng quát hay một số gần đúng: S ~ 25.41 (cm2) cho trường hợp cụ thể như hình vẽ. Không thể nói cách nào là "đúng" hơn, nhưng rõ ràng hướng thứ 2 thú vị và học sinh có khả năng giải quyết các bài toán thực tiễn cao hơn.

Các chiến lược khác nhau để tìm diện tích hình bình hành ABCD

Cũng như vậy, trong trò chơi được thiết kế để làm quen các con số "Numbers Making" (giới thiệu trong bài trước). Để tạo lên một tổng là 10 hay 16, 17,... mỗi người đều có thể thiết lập các chiến lược khác nhau. Chỉ khi có chiến lược tốt người chơi mới có thể đạt đến những levels cao trong giới hạn thời gian rất nhỏ (5s).

Trò chơi yêu cầu người sử dụng chọn các số để lập tổng là số cho trước bắt đầu từ 10, sau mỗi lần đúng sẽ tăng lên 1 đơn vị trong khoảng thời gian giảm dần từ 15s đến 5s. Những level đầu thời gian dài nên chiến lược chưa quan trọng. Nhưng khi lên đến levels 11 trở đi, thời gian chỉ còn 5s. Tổng cần lập lại lớn hơn (từ 20 trở lên). Vấn đề trở thành khó khăn hơn nhiều. Vì vậy để đạt được đến levels cao (điểm cao), đòi hỏi người chơi phải thiết lập các chiến lược phù hợp.

Ví dụ: muốn tạo tổng 27 người chơi có thể có chiến lược chọn số lớn trước, chỉ sau đó mới chọn số nhỏ hơn. Đấy là một chiến lược. Khi thực hiện có thể có các phương án như sau:

1. 9 + 9 + 9 = 27
2. 9 + 9 + 8 + 1 = 27
3. 9 + 9 + 7 + 2 = 27
4. 9 + 8 + 8 + 2 = 27
5. ....

Không đơn thuần là lựa chọn chiến lược, việc triển khai chiến lược theo tình huống & điều kiện cụ thể cũng là một thách thức khó & hấp dẫn. 

Tải về từ AppStore (Apple)

• Phiên bản miễn phí
• Phiên bản PRO (0.99$, không có quảng cáo)

Tải về từ appvn.com

• Phiên bản miễn phí

Trò chơi toán học: numbers making

Tap vào các con số đang rơi để chọn các số có tổng cho trước (10, 11, ...)

Numbers Making là trò chơi giáo dục, thích hợp cho mọi lứa tuổi, giúp luyện khá năng làm việc với các con số và phép toán đồng thời luyện khả năng tính toán nhanh.




Numbers Making - Chơi thế nào?


Rất đơn giản. Bắt đầu từ bàn 1, sẽ hiện con số từ số 10 trở lên ở góc phải, bên trên màn hình. Các con số 1, 2, ... 9 sẽ rơi từ trên xuống dưới với tốc độ rơi càng ngày càng nhanh. Đồng thời các con số cũng sẽ quay quanh chính nó. 

Người chơi có nhiệm vụ tap vào các con số thích hợp để tạo thành dãy có tổng bằng số cho trước.


- Nếu người chơi lập được tổng: chuyển đến số tiếp theo

- Nếu hết thời gian mà chưa lập được tổng: kết thúc, chơi lại

- Nếu lập tổng lớn hơn số cho trước: kết thúc, chơi lại


Kết quả được tính điểm

Thời gian cho mỗi bàn sẽ giảm dần, từ 15s (cho số đầu tiên: 10) xuống đến 5s. Sau đó thời gian sẽ không giảm hơn nữa. Điểm số tối đa về nguyên tắc là không giới hạn.


Rất đơn giản, nhưng cũng thách thức. Bạn thử xem. Trò chơi chạy trên iPhone, iPad, iPod với iOS 7.0 hoặc mới hơn.

Tải về miễn phí trên AppStore
Tải về miễn phí từ appvn.com

Trên Apple AppStore ứng dụng có 2 phiên bản: miễn phí (có cài quảng cáo) và phiên bản PRO  không cài quảng cáo (giá 0.99$).

Tải về phiên bản PRO từ AppStore

Một số công thức tính đạo hàm cơ bản

Như ta đã biết, đạo hàm của một hàm số là hàm số xác định "độ dốc" của đồ thị hàm số đã cho. Tất nhiên nếu ta có một con đường giống như đồ thì hàm số thì việc đo độ dốc đó tại mọi điểm cũng không hề dễ dàng. Rất may là với rất nhiều trường hợp, có thể xác định công thức chính xác của đạo hàm. Giả sử ta có hàm y = f(x), khi đó đạo hàm y' tại một điểm x1 nào đó có thể được tính gần đúng bằng công thức:

y'(x1) = f'(x1) = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)

Với x2 là các giá trị "rất gần với x1" (hay tiến gần đến x1). Công thức trên cũng được ký hiệu là dy/dx (với ý nghĩa là độ lệch của giá trị dy = (y2 - y1) chia cho độ lệch của giá trị dx = (x2 - x1)). Hãy cùng xem xét hình dưới đây:

Độ dốc tại điểm (x1, y1)

Ta thấy rằng độ dốc tại điểm (x1, y1) được xác định bằng góc giữa tiếp tuyến (t) tại điểm đó với trục hoành (trục nằm ngang). Còn giá trị (y2 - y1)/(x2 - x1) là tan của góc giữa đường thẳng (l) đi qua (x1, y1) và (x2, y2). Khi điểm (x2, y2) chạy trên độ thị tiến tới điểm (x1, y1) thì đường thẳng (l) sẽ tiến dần tới trùng với đường thẳng (t).

Nói cách khác y' = (y2 - y1)/(x2 - x1) khi x2 -> x1 hay y' = lim (y2 - y1)/(x2 - x1) khi x2 -> x1. Với công thức này ta dễ dàng xác định được đạo hàm của nhiều loại hàm số cơ bản (a, b, c,... là tham số):

Các hàm đa thức

y(x) = ax + b;                 y'(x) = a;
y(x) = ax^2 + bx + c;          y'(x) = 2ax + b;
y(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d;   y'(x) = 3ax^2 + 2bx + c;
........

Hàm lượng giác

y(x) = sin(ax);                y'(x) = a * cos(ax)
y(x) = cos(ax);                y'(x) = -a * sin(ax)
y(x) = tan(x);                 y'(x) = 1/(cos(x)^2)
.....

Các phép toán

y(x) = a * f(x) + b * g(x);    y'(x) = a * f'(x) + b * g'(x)
y(x) = f(x)/g(x);    y'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x))/(g(x)^2)
y(x) = f(x) * g(x);  y'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Từ các công thức cơ bản & phép toán ta có thể dễ dàng xác định đạo hàm của nhiều hàm số thường gặp trong chương trình phổ thông. Ví dụ nếu ta có hàm:


y(x) = x^2 + sin(x)

Khi đó đạo hàm sẽ là:

y'(x) = 2x + cos(x)

Đối với các loại hàm số như hàm số mũ, hàm logarit,.. vấn đề cũng tương tự. Nhưng do khó trình bày công thức dưới dạng văn bản hơn nên các bạn sẽ tự tìm hiểu! :))

AppStore: Ứng dụng Hàm số và Đồ thị 2.0 (PRO)

Phiên bản ứng dụng "Hàm số và Đồ thị", phiên bản PRO 2.0 đã có trên Apple AppStore. So với phiên bản FREE, phiên bản này có các tính năng bổ sung:

1) Không có các banner quảng cáo
2) Kết xuất với kích thước hình ảnh lớn
3) Có thể gắn các điểm vào đồ thị
4) Có thể ghi lại công thức để tái sử dụng

Ngoài ra, có một số chỉnh sửa về ngôn ngữ cho cả 2 phiên bản. Người sử dụng có thể sử dụng tính năng cập nhật như hình dưới đây mà không cần phải download lại ứng dụng. Những người sử dụng đã có phiên bản cũ, được nâng cấp miễn phí.

Phiên bản PRO có giá 2.99$, download tại đây: "Hàm số và Đồ thị PRO".

Hàm số & đồ thị hình hoa: r(t) = m * cos(t * n) + a

Có những hàm số mà đồ thị của chúng thật đẹp. Một ví dụ nổi tiếng trong giới toán học là các đồ thị hình hoa (rose style curves). Các hàm số loại này có chung công thức:

r(t) = m * cos(t * n) + a

Điều đặc biệt là tuy có chung công thức, nhưng khi các tham số thay đổi. Hình dạng của đồ thị sẽ thay đổi rất nhanh, có thể hoàn toàn không giống như các đồ thị khác. Một số ví dụ cụ thể:

Đồ thị với: m = 3; a = 0; n = 7

Đồ thị với m = 2; a = 1.5; n = 7/2

Đồ thị với m = 2; a = 1.5; n = 7/5

Đẹp lung linh. Bạn thử đoán xem công thức của đồ thị dưới đây là gì?

Giới thiệu: tools vẽ đồ thị & khảo sát hàm số trên iPhone/iPad

Có một số công cụ vẽ đồ thị & khảo sát hàm số trên máy tính và trên thiết bị di động đáp ứng những nhu cầu & đối tượng khác nhau. Có thể kể đến các công cụ sau:

• IntMath: bộ công cụ online, bạn có thể sử dụng miễn phí trên website. Vẽ các đồ thị khá tốt và hiệu quả. Chưa hỗ trợ lưu trữ và các hàm số có chứa tham số không biết trước.
• Wolfram: là bộ công cụ mạnh, có thể vẽ các mặt (hàm 2 biến). Sử dụng tương đối phức tạp dù có các phiên bản ứng dụng trên thiết bị di động. Chưa hỗ trợ công thức có tham số.
• Graph Calculator: một số công cụ vẽ đồ thị trên thiết bị di động. Thường sử dụng đơn giản hơn nhưng không hỗ trợ tham số.

"Math Functions and Graphs" - Màn hình chính (iPad), phiên bản 2.0

Bài viết này giới thiệu ứng dụng cho iPhone/iPad: "Math Functions and Graphs". Một ứng dụng từ Việt Nam, đã có từ tháng 4 năm 2014. Tuy nhiên phiên bản đầu tiên tương đối hạn chế, chỉ hỗ trợ các hàm đa thức và hàm hữu tỷ. Phiên bản 2.0 vừa được giới thiệu trên AppStore, có những cải tiến căn bản:

Các dạng hàm số cơ bản 

Phiên bản 2.0 hỗ trợ hầu hết các loại hàm số có trong chương trình phổ thông của Việt Nam cũng như của rất nhiều nước tiên tiến: Anh, Mỹ, Nga, Đức, Pháp,.... Người sử dụng có thể sử dụng với các dạng hàm số sin(), cos(), sinh(), tanh(), abs(), log(), ln(), sqrt(), exp(),... đơn lẻ hoặc tổ hợp của chúng.

Kết xuất đồ thị hàm số, dạng hàm hữu tỷ

Các dạng đồ thị phức tạp

Không chỉ hỗ trợ các dạng đồ thị có công thức dạng:  y = f(x) hay x = f(y) mà còn hỗ trợ các dạng đồ thị trong đó x,y phụ thuộc vào biến thứ 3: x = x(t); y = y(t). Hơn nữa hỗ trợ các đồ thị dạng r = r(t) đường dùng nhiều cho các đồ thị hình xoắn ốc hoặc các dạng đồ thị đặc biệt khác.

Kết xuất đồ thị hàm số. Dạng hàm r = r(t)

Hỗ trợ ngôn ngữ người sử dụng

Giao diện của phiên bản 2.0 hỗ trợ 11 ngôn ngữ phổ biến bao gồm: tiếng Anh, tiếng Việt, tiếng Nga, tiếng Nhật, tiếng Trung, tiếng Hàn quốc, tiếng Đức, tiếng Pháp, tiếng Bồ Đào Nha, Tây Ban Nha, tiếng Ý. Phần hướng dẫn sử dụng cũng từng bước được bổ sung cho các ngôn ngữ trên. Hiện đã có tiếng Anh, tiếng Việt, tiếng Nga, tiếng Đức. Khi dữ liệu sẵn sàng, người sử dụng có thể download hỗ trợ ngôn ngữ mà không cần đợi phiên bản ứng dụng mới.

Lựa chọn ngôn ngữ sử dụng

Cập nhật hàm số thuận tiện

Ứng dụng lập sẵn nhiều dạng hàm số cơ bản, người sử dụng có thể chọn các hàm số đó chỉ cẩn thay đổi theo yêu cầu hoặc nhập giá trị cho các các tham số của mình. Cũng có thể tạo mới hoàn toàn với các công thức dựa trên các hàm toán học. Bàn phím cập nhật được thiết kế đồng nhất cho các thiết bị iPhone từ 4S đến iPhone 6 Plus và iPad.

Màn hình cập nhật công thức

Ứng dụng sử dụng công thức chuẩn dạng text trên web, quen thuộc với hầu hết người sử dụng.

Phiên bản miễn phí

Phần lớn các chức năng được hỗ trợ trong phiên bản miễn phí ngoài một số hạn chế. Nếu muốn người sử dụng có thể nâng cấp lên phiên bản chuyên nghiệp (Math Functions and Graphs PRO) để khai thác toàn bộ chức năng của ứng dụng, đồng thời loại bỏ các banner quảng cáo (xuất hiện trong một số màn hình của phiên bản miễn phí).

Tự động cài đặt ngôn ngữ

Khi được tải về và khởi động, ứng dụng sẽ dựa trên ngôn ngữ cài đặt trên thiết bị của người sử dụng để tự động thiết lập cấu hình ngôn ngữ và tải về các dữ liệu ngôn ngữ cần thiết. Người sử dụng cũng có thể chủ động kiểm tra và tải về các thiết lập ngôn ngữ mới nếu có.

 

Phiên bản miễn phí của ứng dụng có thể tải về từ:

1) Apple AppStore

2) AppVN - Kho ứng dụng Việt (máy JB)

Lợi ích của việc mô phỏng & công thức hoá

Trong bài viết trước chúng ta đã xem xét khái niệm đạo hàm từ cách nhìn rất thực tiễn và dễ hiểu, việc đưa ra các khái niệm trong toán học có vẻ như làm cho vấn đề trở thành khó hiểu hơn. May thay đó mới chỉ là một khía cạnh.

Việc chuẩn hoá bằng các khái niệm toán học cũng có nhiều điểm lợi. Khái niệm hàm số vốn bắt đầu từ việc một đại lượng nào đó (ví dụ: doanh thu bán hàng) sẽ thay đổi theo sự thay đổi của một đại lượng khác (ví dụ: số lượng đơn vị hàng hoá bán ra). Nếu sự phụ này thuần tuý chỉ là các cặp số : doanh thu <-> số lượng mà không theo quy luật nào thì sẽ không có nhiều chuyện để bàn.

Trong thực tiễn, với những điều kiện nhất định, ví dụ như khoảng 1 tháng khi giá cả không thay đổi, thì khi đó doanh thu bán hàng sẽ là: "doanh thu" = "số lượng" x "giá bán", mà "giá bán" không đổi nên nó sẽ là một số cụ thể nào đó, ký kiệu là a. Để viết cho ngắn gọn ta ký hiệu "doanh thu" là y, còn"sốlượng" là x. Khi đó ta có hàm số: y = a * x (a ≠ 0).

Và việc ký hiệu như vậy không chỉ giúp ta viết ngắn gọn, nó còn giúp ta tìm ra những "quy luật" biến đổi của những giá trị liên quan. Ví dụ: khái niệm "độ dốc" (đạo hàm) trong trường hợp này có thể chứng minh là luôn luôn bằng giá trị a, như vậy đồ thị hàm số này là một đường thẳng. Nó đồng biến hay nghịch biến phụ thuộc vào việc a > 0 hay a < 0 mà không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của a.

Nói cách khác, nhiều yếu tố liên quan đến hàm biểu diễn sự phụ thuộc của doanh thu vào số lượng trong trường hợp giá cả không đổi là giống nhau, không phụ thuộc vào bản thân giá không đổi đó là bao nhiêu.

Đây chỉ là trường hợp đơn giản nhất, nếu quy luật phụ thuộc phức tạp hơn một chút, giả sử ta có hàm số y = a * x^2 (a ≠ 0), như hình vẽ dưới đây ta lần lượt lấy giá trị của a là 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, -1, -1/2, -1/3, -1/4, -1/5. Nghĩa là ta có 10 hàm số khác nhau. Thử quan sát đồ thị của chúng (a = 1 là đồ thị đậm, đường kẻ liền):

Đồ thị: y = a * x^2 {a = 1/k; k = -5 -> 5}

Rõ ràng là dù có đến 10 giá trị khác nhau của a; 5 giá trị > 0; 5 giá trị < 0 nhưng đồ thị của chúng có những điểm cơ bản rất giống nhau:

1) Tất cả đều có cùng hình dạng (parabol), chỉ có mức độ "béo/gầy" khác nhau. 5 Đồ thị hướng lên trên (a > 0) và 5 đồ thị hướng úp xuống dưới (a < 0).

2) Tất cả đều có điểm cực trị duy nhất tại điểm (0,0), với a > 0 thì đó là điểm cực tiểu còn với a < 0 thì đó là điểm cực đại.

3) Trong khoảng x < 0, hàm là đồng biến nếu a < 0, nghịch biến với a > 0. Còn trong khoảng x > 0 thì ngược lại.

Việc trừu tượng hoá một đại lượng cụ thể không đổi thành một khái niệm mới: hệ số chưa biết trước a, sẽ giúp cho việc nghiên cứu các tính chất của mọi hàm số có dạng y = a * x^2 trở nên đơn giản và hiệu quả hơn. Các nhà toán học không chỉ làm cho mọi việc thành khó hiểu, họ còn thường làm cho các vấn đề phức tạp trở thành đơn giản và mạch lạc hơn.

Đạo hàm - trừu tượng hoá những khái niệm đơn giản

Toán học được coi là khoa học của các loại khoa học không phải vì nó khó hơn hay nó "khoa học" hơn các ngành khoa học khác. Ngược lại có lẽ vì nó dễ nhất, nên con người tiếp cận đến được sớm nhất và vì vậy có cơ hội nhiều hơn trong việc đưa ra các khái niệm trừu tượng so với các khoa học khác. Ví dụ thế này: trẻ em được tiếp cận với toán học từ 3-4 tuổi, trong khi đó phải học đến lớp 8-9 mới lần đầu tiên được làm quen với môn hoá học.

Rõ ràng để đếm hay cộng trừ, dễ hơn tìm hiểu xem không khí gồm những chất gì hay là công thức của phân tử nước nó như thế nào?

Thế tại sao người ta lại ngại (hoặc đôi khi là tôn sùng) môn toán? Một trong những lý do có thể là do được sớm tiếp cận, hơn nữa là không cần nhiều công cụ (như các phòng thí nghiệm chẳng hạn) nên các nhà toán học hay đưa ra các khái niệm trừu tượng để mô tả các sự việc vốn rất cụ thể và dễ hiểu.

Đạo hàm là một ví dụ rất rõ ràng minh chứng cho điều này

Hãy nhìn vào hình vẽ dưới đây, đồ thị của một đa thức bậc 3: y = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d,

Đồ thị của đa thức bậc 3

Thực ra, đây có thể hiểu đơn giản như là con đường đi qua mấy quả đồi. Ai đã từng đi đường đồi hay đường dốc thì đều hiểu, ở đây có mấy khái niệm mà bất kỳ ai cũng phải quan tâm:

Độ dốc

Trước khi đi vào đoạn đường đồi, ai cũng phải quan sát xem độ dốc của đoạn đường đó thế nào? Dốc lên hay dốc xuống? Nếu là đi xe ô tô chẳng hạn thì liệu độ dốc có vượt quá giới hạn cho phép của loại xe đang lái hay không? Trong toán học thì hàm số biểu diễn độ dốc này được gọi là "đạo hàm". Rất dễ hiểu. Đạo hàm tại điểm C, đơn giản là độ dốc của con đường (đồ thị) tại điểm đó, và đường thẳng đi qua điểm C, tiếp xúc với mặt đường thì được gọi là tiếp tuyến tại điểm C.

Đỉnh đồi và đáy thung lũng (điểm A, điểm B)

Đây là những điểm mà nếu đang đi lên thì tiếp theo sẽ là đi xuống, còn nếu đang đi xuống thì sau đó phải đi lên. Người ta hay ngồi nghỉ ở đó, chẳng phải do phong cảnh đẹp mà là do dễ dừng ở đó nhất, bởi vì độ dốc ở đó bằng 0 (đây là những chỗ mà đường không dốc). Những điểm dừng chân để nghỉ mà không lo bị trượt xuống này, được gọi là các điểm cực trị. Đỉnh dốc gọi là cực đại, đáy thung lũng thì gọi là điểm cực tiểu.

Chú ý: Đôi khi có những điểm không dốc ở sườn núi, cũng nghỉ được nhưng không phải đỉnh, không phải đáy - những điểm đó không phải là cực trị.

Đường lên dốc

Trong hình là trước điểm A và sau điểm B. Đây là những đoạn phải leo lên, mệt nhất! Càng dốc thì càng mệt và càng mất nhiều công sức để leo lên. Trên toàn bộ quãng đường đó nếu toàn là lên dốc (có thể có các điểm nằm ngang nhưng sau đó lại lên dốc) thì được gọi là hàm số "đồng biến". Tại đó độ dốc luôn lớn hơn hoặc bằng 0 (hay đạo hàm, ký hiệu là y' >= 0).

Đường xuống dốc (từ điểm A đến điểm B)

Là ngược lại với việc lên dốc. Xuống dốc nói chung là dễ hơn lên, mất ít năng lượng hơn (nhưng thường xuyên phải để ý tránh trượt ngã hoặc mất phanh). Trên đoạn đường này độ dốc nhỏ hơn hoặc bằng 0. Hàm số được gọi là "nghịch biến", còn đạo hàm y' <= 0.

Tóm lại là cũng không có gì đáng ngại, để hiểu rõ khái niệm đạo hàm, điểm cực trị, đồng biến hay nghịch biến đơn giản là cứ tìm mấy quả đồi rồi leo lên leo xuống vài lần. Hơi mệt chút, nhưng chắc vẫn đỡ hơn nhiều khi vật lộn với những công thức kiểu tính giới hạn lim [(y - y0)/(x - x0)] với x -> x0! Còn dưới đây là một con đường khác, với đồ thị hình sin!

Tiếp tuyến, cực trị của đồ thị hàm số dạng: y = a * sin(x)

Vui: thế nào là một nhà toán học?

Chắc chắn là nhà toán học!

Có hai người bị lạc trên một khinh khí cầu. Họ bay qua một ngọn đồi và nhìn thấy hai người khác đang tranh luận với nhau rất hăng. Một người hỏi xuống: "các anh cho hỏi chúng tôi đang ở đâu?". Hai người bên dưới nhìn lên rồi lại tranh luận tiếp.

Gió thổi khinh khí cầu bay đi, lúc đó một người ở dưới mới vọng lên: "Các anh đang ở trên một chiếc khinh khí cầu!". Người trên khinh khí cầu nói: "chắc chắn hai ông bên dưới là các nhà toán học!". "Sao anh biết?", người đồng hành hỏi lại.

"Thứ nhất: chỉ có những nhà toán học mới luôn luôn cãi nhau"
"Thứ hai: họ bao giờ cũng tranh luận kỹ rồi mới đưa ra câu trả lời"
"Thứ ba: câu trả lời của họ bao giờ cũng vô cùng chính xác"
"Thứ tư: những câu trả lời chính xác đó thường vô dụng!"

Khinh khí cầu - Hình chỉ có tính minh hoạ

Giải pháp toán học

Sự khác nhau cơ bản giữa nhà toán học và nhà vật lý là ở chỗ, nếu được hỏi làm thế nào để nhổ cái đinh đã đóng một nửa vào miếng gỗ? Thì nhà vật lý sẽ chứng minh rằng, nếu được nhổ với một lực là N mà N lớn hơn tổng ma sát cũng như các lực ép khác của miếng gỗ lên cái đinh, thì cái đinh sẽ được nhổ ra.

Còn các nhà toán học trước hết sẽ chứng minh rằng ngay cả khi cái đinh được đóng ngập vào miếng gỗ thì cũng vẫn nhổ ra được. Sau đó họ chứng minh tiếp là có thể đóng cái đinh cắm một nửa ngập vào miếng gỗ với mệnh đề khét tiếng "đưa bài toán trở về bài toán ban đầu"!

(ST)

Giải thưởng Field - giải Nobel toán học

Ai cũng biết rằng giải Nobel là giải thưởng danh giá nhất mà bất kỳ nhà khoa học nào trong các lĩnh vực vật lý, sinh học, y học, hoá học,... đều mơ ước như một sự công nhận tài năng và kết quả nghiên cứu của mình. Hơn nữa, giá trị giải thưởng cũng rất lớn (từ năm 2014 là khoảng 1,400,000 đô la Canada). Tiếc rằng, giải Nobel không được trao cho các nhà toán học. Có những giải thích khác nhau về nguyên do của chuyện này, trong đó có một giả thuyết là theo ý nguyện của chính Nobel, người có mối hận tình với một nhà toán học.

Dù sao, đó cũng là một thiệt thòi lớn cho các nhà toán học. Để bù đắp, giải thưởng Field được thành lập theo sáng kiến của nhà toán học người Canada John Charles Fields. Giải được trao lần đầu tiên vào năm 1936 cho hai nhà toán học: Lars Ahlfors (người Phần Lan) và Jesse Douglas (người Mỹ). Từ năm 1950, giải được trao 4 năm một lần cho từ 2-4 người mỗi lần trao.

Từ đó, đây là giải thưởng được coi là cao quý nhất dành cho các thành tựu toán học. Về mặt danh giá, giải Fields được đánh giá ngang bằng với giải Nobel, tuy nhiên số tiền thưởng thì nhỏ hơn nhiều. Điểm khác biệt căn bản là ở chỗ chỉ được trao cho các nhà toán học dưới 40 tuổi với mục tiêu tiêu là khuyến khích nghiên cứu toán học từ giới trẻ. Năm 2010, Giáo sư Ngô Bảo Châu (lúc đó 38 tuổi), trở thành người Việt Nam đầu tiên và duy nhất cho đến nay được nhận giải thưởng này.

GS Ngô Bảo Châu - Giải Fields năm 2010

Năm 2006, Grigori Perelman, nhà toán học thiên tài người Nga trở thành người duy nhất được trao giải nhưng không nhận! Ông còn từ chối giải Clay, cũng là một giải thưởng toán học danh giá, và nhiều giải thưởng khác với trị giá trên 1,000,000 USD. Lý do rất đơn giản: không muốn phân tâm vì những việc khác, không phải là nghiên cứu toán học.

Grigori Perelman - thiên tài toán học người Nga (sinh năm 1966)

Hiện ông sống với mẹ ở St Peterburg, trong một căn hộ nhỏ đầy gián! Grigori Perelman được coi là một trong số những tài năng lớn nhất của nhân loại còn sống.

Artur Ávila - Giải Fields 2014

Trong lần trao giải gần nhất (2014), Maryam Mirzakhani (sinh năm 1977) trở thành người Iran đầu tiên và cũng là phụ nữ đầu tiên được nhận giải thưởng này. Cũng trong năm đó, nhà toán học người Brazil là Artur Ávila (sinh năm 1979) trở thành chủ nhân đâu tiên của huy chương Fields đến từ châu Mỹ la tinh.

Bên cạnh giải Fields, giới toán học còn một số giải thưởng danh giá khác như: giải Clay, giải Chern với quỹ tiền thưởng lớn hơn. Nhưng về mặt danh tiếng, giải Fields vẫn là giải được coi là danh giá nhất.

Đồ thị hàm số và những đường cong hoàn hảo

Trên dãy Alps thuộc châu Âu có một loại tàu hoả chạy trên miền núi với tốc độ cao mà không dùng đến các bánh răng cưa. Để làm được điều này, các kỹ sư đã thiết kế và thi công các tuyến đường một cách vô cùng khoa học (đường núi nhưng độ dốc tối đa đạt 0,72%). Kết quả là không chỉ có những tuyến đường sắt thuận tiện, ở nhiều chỗ ta còn bắt gặp những công trình nghệ thuật thực sự, ảnh đoạn đường gần thị trấn Brusio (Thuỵ Sĩ) dưới đây:

Ảnh: @lifeandtravel.com

Có lẽ những người thiết kế cung đường này đã có những tính toán toán học hoàn hảo để các đoàn tàu có thể di chuyển an toàn. Cung đường cũng làm ta liên tưởng đến hình vẽ dưới đây:

Hình: đồ thị hàm số y = a * sqrt(b*x) với a = -3; b = -1;

Đồ thị là cách thể hiện hàm số trên hình vẽ 2 hoặc nhiều chiều. Hình xoắn ốc trên đây là đồ thị của hàm số y = a * sqrt(b * x) với a = -3 & b = -1; Đồ thị giúp ta hình dung rất nhiều khía cạnh của một hàm số. Một vài điểm có thể dễ dàng nhận biết trên đồ thị:

• Tính liên tục: khi đồ thị được biểu diễn bằng đường liền, không ngắt quãng
• Sự biến thiên: khi nào giá trị của hàm tăng, hay giảm phụ thuộc vào giá trị tăng của biến số
• Nghiệm số: khi nào hàm số có giá trị là 0
• Dương/âm: khi nào hàm số có giá trị dương (hoặc âm)
• Giới hạn: giá trị hàm số sẽ tiến đến đâu nếu biến số tiến đến một giá trị nào đó?
• Tốc độ thay đổi: hàm số sẽ thay đổi nhanh hay chậm nếu biến số thay đổi?
• Giá trị cực đại/cực tiểu: ở đâu thì giá trị hàm số là lớn nhất so với các điểm xung quanh?  

.... Có thể có những điểm khác nữa, chúng ta sẽ bàn cụ thể từng vấn đề liên quan sau. Trở lại với một câu hỏi trong bài viết trước: "có cách biểu diễn toán học nào cho hình ảnh rất ấn tượng của lá cây anh túc như trong ảnh dưới đây không"?

Hình: lá cây anh túc

Câu trả lời là có! Có một đồ thị hàm số thể hiện chính xác hình lá cây trên, đến nỗi đồ thị đó đã được đặt tên là: "marijuana leaf curve" theo tên của loài cây khét tiếng này:

Hình: Marijuana leaf curve

Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm thì đây là hàm số:

r = 1.5 * (1.0 + 0.9 * cos(8t)) * (1.0 + 0.1 * cos(24t)) * (0.9 + 0.05 * cos(200t)) * (1.0 + sin(t)) + 0.1

Liệu bạn có muốn tự mình kiểm tra xem đồ thị trên được vẽ chính xác hay không? :)) Có thể nghi ngờ, bạn hãy thử vẽ lại đồ thị của hàm số trên xem sao!

Hình học phẳng và trí tưởng tượng

Toán học là khoa học chính xác của trí tưởng tượng và cái đẹp! :) Không nhất thiết phải trở thành học sinh giỏi toán hay trở thành nhà toán học mới cần quan tâm hay cảm nhận điều đó. Một ví dụ đơn giản khi vẽ hình thang ABCD (AB//CD):

Hình thang ABCD

Nhìn vào đây bạn sẽ thấy điều gì? Một hình vẽ khá đơn giản. Thế nhưng khi học toán thì trong đầu bạn sẽ có ít nhất các hình dung sau đây:

1. Hai đường chéo AC và BD và điểm O
2. Các đường cao AH, BI, CJ, DK
3. Trung điểm M của AD, N của BC, R của AB, S của CD
4. Đường trung bình MN
5. Giao điểm P của hai cạnh bên AD và BC

Hình thang ABCD trong trí tưởng tượng toán học

Nếu thêm một yếu tố, chẳng hạn ABCD là hình thang cân. Khi đó trong hình dung của bạn sẽ có thêm đường tròn ngoại tiếp hình thang và tâm của nó! Chưa kể các quan hệ logics giữa các yếu tố đó:

• Diện tích hình thang = (AB+CD) x AH / 2
• MN = (AB + CD)/2
• AH = BI = CJ = DK
• Bạn có nghĩ là P, R, O, S thẳng hàng?

Khá ấn tượng phải không? Việc học toán, giải toán ở trường phổ thông với yêu cầu bình thường nếu được quan tâm đúng mức có thể giúp phát triển trí tưởng tượng phong phú một cách tự nhiên! Trí tưởng tượng không chỉ dùng trong việc học toán, nó là đặc tính cần thiết chủ đạo trong tư duy của con người khi tham gia bất kỳ hoạt động nào có tính sáng tạo và nó còn làm cho cuộc sống phong phú và tốt đẹp hơn.

Hàm số - trong nhà trường và trong cuộc sống!

Nói đến khái niệm hàm số, hiển nhiên ai cũng sẽ nghĩ đến môn toán học trong nhà trường, (khá là kinh khủng với đa số học sinh!), xa hơn nữa là những khái niệm cao siêu liên quan đến vấn đề vẽ quỹ đạo của những ngôi sao đã tắt, hình thù của các vũ trụ hay việc đưa người lên sao hoả!

Việc sử dụng những ký hiệu, khái niệm và công thức toán học, cùng với việc ít liên hệ và gắn liền với những khái niệm và hiện tượng thông thường khiến cho hàm số trở thành khái niệm hàn lâm và khiến mọi người liên tưởng đến những lĩnh việc cao siêu.

Tuy nhiên, hàm số lại là khái niệm rất thiết thực, rất gần với cuộc sống hàng ngày. Thậm chí rất nhiều người chưa từng quan tâm đến môn toán cao hơn lớp 5, vẫn có thể sử dụng hàm số hàng ngày. Có thể kể đến một số ví dụ:

Số tiền mà một bà đi chợ bán rau kiếm được hàng ngày (doanh thu, hoặc lợi nhuận, hoặc cả hai) là một hàm số khá phức tạp. Phụ thuộc vào ít nhất là các biến sau đây:

• Các loại ra mà bà ấy bán (giả sử ta ký hiệu là các loại r1, r2, ... rn)
• Số lượng bán được: (ký hiệu là v1, v2,... vn)
• Giá cả mỗi loại: (ký hiệu là x1, x2,... xn)

Giả sử bà ấy bán 5 loại rau (n = 5), rõ ràng như vậy doanh thu bán hàng hàng ngày là một giá trị (ký kiệu là f) phụ thuộc vào các biến số r1, r2,... r5, v1, v2,...,v5, x1, x2,...,x5 (có 15 biến số cả thảy).

Bà đi chợ này có thể chưa học toán cấp 3, hoặc có học nhưng không hiểu mấy, nhưng lại thường xuyên tính toán giá trị của hàm số có ... 15 biến số! Điều mà chắc không mấy GSTS thường làm!

Vẫn là ví dụ trên, ta xét theo chiều khác: doanh thu theo từng ngày. Bà ấy sẽ quan tâm trong tháng thì những ngày nào bán được nhiều? ngày nào bán được ít? những ngày nào hoặc điều kiện nào thì bán được nhiều hơn? (Để tính toán khối lượng mua đầu vào sao cho chuẩn). Ở đây bà ấy đang giải quyết các vấn đề liên quan đến điểm cực đại, điểm cực tiểu, vùng cực đại, bài toán tối ưu,... Và đấy là những bài toán thiết thực, liên quan trực tiếp đến cuộc sống của mình và gia đình.

Toán học hoàn toàn không phải trên mây hay trong tưởng tượng phải không? Vấn đề không phải là có nên học hay không hay học đến đâu? Mà điều quan trọng có lẽ là ở chỗ những cái gì là căn bản, là cơ sở và hình thức như thế nào là phù hợp. Để kết thúc bài viết nhỏ này, hãy nhìn vào hình dưới đây:

Bạn có thể tưởng tượng ra điều gì? Một con ốc? Một cái dây cót trong đồng hồ? (Loại lên dây cót). Tất nhiên là đúng rồi. Ngoài ra nó còn là hình biểu diễn của một hàm số đơn giản: r(t) = a * t (là hàm số biểu diễn vị trí của một điểm cách gốc toạ độ một khoảng là a * t với t là góc quay quanh gốc toạ độ)

Và trong hình dưới đây, bạn có biết đó là lá cây gì? (Hình ảnh từ Internet)

Đó là lá cây anh túc (cây thuốc phiện). Nhưng chúng ta không bàn về cây thuốc phiện. Câu hỏi đặt ra là: có cách nào mô tả cái lá rất đẹp đó dưới dạng toán học hay không? Câu trả lời sẽ có trong bài viết tiếp theo.