Đạo hàm - trừu tượng hoá những khái niệm đơn giản

Toán học được coi là khoa học của các loại khoa học không phải vì nó khó hơn hay nó "khoa học" hơn các ngành khoa học khác. Ngược lại có lẽ vì nó dễ nhất, nên con người tiếp cận đến được sớm nhất và vì vậy có cơ hội nhiều hơn trong việc đưa ra các khái niệm trừu tượng so với các khoa học khác. Ví dụ thế này: trẻ em được tiếp cận với toán học từ 3-4 tuổi, trong khi đó phải học đến lớp 8-9 mới lần đầu tiên được làm quen với môn hoá học.

Rõ ràng để đếm hay cộng trừ, dễ hơn tìm hiểu xem không khí gồm những chất gì hay là công thức của phân tử nước nó như thế nào?

Thế tại sao người ta lại ngại (hoặc đôi khi là tôn sùng) môn toán? Một trong những lý do có thể là do được sớm tiếp cận, hơn nữa là không cần nhiều công cụ (như các phòng thí nghiệm chẳng hạn) nên các nhà toán học hay đưa ra các khái niệm trừu tượng để mô tả các sự việc vốn rất cụ thể và dễ hiểu.

Đạo hàm là một ví dụ rất rõ ràng minh chứng cho điều này

Hãy nhìn vào hình vẽ dưới đây, đồ thị của một đa thức bậc 3: y = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d,

Đồ thị của đa thức bậc 3

Thực ra, đây có thể hiểu đơn giản như là con đường đi qua mấy quả đồi. Ai đã từng đi đường đồi hay đường dốc thì đều hiểu, ở đây có mấy khái niệm mà bất kỳ ai cũng phải quan tâm:

Độ dốc

Trước khi đi vào đoạn đường đồi, ai cũng phải quan sát xem độ dốc của đoạn đường đó thế nào? Dốc lên hay dốc xuống? Nếu là đi xe ô tô chẳng hạn thì liệu độ dốc có vượt quá giới hạn cho phép của loại xe đang lái hay không? Trong toán học thì hàm số biểu diễn độ dốc này được gọi là "đạo hàm". Rất dễ hiểu. Đạo hàm tại điểm C, đơn giản là độ dốc của con đường (đồ thị) tại điểm đó, và đường thẳng đi qua điểm C, tiếp xúc với mặt đường thì được gọi là tiếp tuyến tại điểm C.

Đỉnh đồi và đáy thung lũng (điểm A, điểm B)

Đây là những điểm mà nếu đang đi lên thì tiếp theo sẽ là đi xuống, còn nếu đang đi xuống thì sau đó phải đi lên. Người ta hay ngồi nghỉ ở đó, chẳng phải do phong cảnh đẹp mà là do dễ dừng ở đó nhất, bởi vì độ dốc ở đó bằng 0 (đây là những chỗ mà đường không dốc). Những điểm dừng chân để nghỉ mà không lo bị trượt xuống này, được gọi là các điểm cực trị. Đỉnh dốc gọi là cực đại, đáy thung lũng thì gọi là điểm cực tiểu.

Chú ý: Đôi khi có những điểm không dốc ở sườn núi, cũng nghỉ được nhưng không phải đỉnh, không phải đáy - những điểm đó không phải là cực trị.

Đường lên dốc

Trong hình là trước điểm A và sau điểm B. Đây là những đoạn phải leo lên, mệt nhất! Càng dốc thì càng mệt và càng mất nhiều công sức để leo lên. Trên toàn bộ quãng đường đó nếu toàn là lên dốc (có thể có các điểm nằm ngang nhưng sau đó lại lên dốc) thì được gọi là hàm số "đồng biến". Tại đó độ dốc luôn lớn hơn hoặc bằng 0 (hay đạo hàm, ký hiệu là y' >= 0).

Đường xuống dốc (từ điểm A đến điểm B)

Là ngược lại với việc lên dốc. Xuống dốc nói chung là dễ hơn lên, mất ít năng lượng hơn (nhưng thường xuyên phải để ý tránh trượt ngã hoặc mất phanh). Trên đoạn đường này độ dốc nhỏ hơn hoặc bằng 0. Hàm số được gọi là "nghịch biến", còn đạo hàm y' <= 0.

Tóm lại là cũng không có gì đáng ngại, để hiểu rõ khái niệm đạo hàm, điểm cực trị, đồng biến hay nghịch biến đơn giản là cứ tìm mấy quả đồi rồi leo lên leo xuống vài lần. Hơi mệt chút, nhưng chắc vẫn đỡ hơn nhiều khi vật lộn với những công thức kiểu tính giới hạn lim [(y - y0)/(x - x0)] với x -> x0! Còn dưới đây là một con đường khác, với đồ thị hình sin!

Tiếp tuyến, cực trị của đồ thị hàm số dạng: y = a * sin(x)