Một số công thức tính đạo hàm cơ bản

Như ta đã biết, đạo hàm của một hàm số là hàm số xác định "độ dốc" của đồ thị hàm số đã cho. Tất nhiên nếu ta có một con đường giống như đồ thì hàm số thì việc đo độ dốc đó tại mọi điểm cũng không hề dễ dàng. Rất may là với rất nhiều trường hợp, có thể xác định công thức chính xác của đạo hàm. Giả sử ta có hàm y = f(x), khi đó đạo hàm y' tại một điểm x1 nào đó có thể được tính gần đúng bằng công thức:

y'(x1) = f'(x1) = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)

Với x2 là các giá trị "rất gần với x1" (hay tiến gần đến x1). Công thức trên cũng được ký hiệu là dy/dx (với ý nghĩa là độ lệch của giá trị dy = (y2 - y1) chia cho độ lệch của giá trị dx = (x2 - x1)). Hãy cùng xem xét hình dưới đây:

Độ dốc tại điểm (x1, y1)

Ta thấy rằng độ dốc tại điểm (x1, y1) được xác định bằng góc giữa tiếp tuyến (t) tại điểm đó với trục hoành (trục nằm ngang). Còn giá trị (y2 - y1)/(x2 - x1) là tan của góc giữa đường thẳng (l) đi qua (x1, y1) và (x2, y2). Khi điểm (x2, y2) chạy trên độ thị tiến tới điểm (x1, y1) thì đường thẳng (l) sẽ tiến dần tới trùng với đường thẳng (t).

Nói cách khác y' = (y2 - y1)/(x2 - x1) khi x2 -> x1 hay y' = lim (y2 - y1)/(x2 - x1) khi x2 -> x1. Với công thức này ta dễ dàng xác định được đạo hàm của nhiều loại hàm số cơ bản (a, b, c,... là tham số):

Các hàm đa thức

y(x) = ax + b;                 y'(x) = a;
y(x) = ax^2 + bx + c;          y'(x) = 2ax + b;
y(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d;   y'(x) = 3ax^2 + 2bx + c;
........

Hàm lượng giác

y(x) = sin(ax);                y'(x) = a * cos(ax)
y(x) = cos(ax);                y'(x) = -a * sin(ax)
y(x) = tan(x);                 y'(x) = 1/(cos(x)^2)
.....

Các phép toán

y(x) = a * f(x) + b * g(x);    y'(x) = a * f'(x) + b * g'(x)
y(x) = f(x)/g(x);    y'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x))/(g(x)^2)
y(x) = f(x) * g(x);  y'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Từ các công thức cơ bản & phép toán ta có thể dễ dàng xác định đạo hàm của nhiều hàm số thường gặp trong chương trình phổ thông. Ví dụ nếu ta có hàm:


y(x) = x^2 + sin(x)

Khi đó đạo hàm sẽ là:

y'(x) = 2x + cos(x)

Đối với các loại hàm số như hàm số mũ, hàm logarit,.. vấn đề cũng tương tự. Nhưng do khó trình bày công thức dưới dạng văn bản hơn nên các bạn sẽ tự tìm hiểu! :))