Đồ thị hàm số và những đường cong hoàn hảo

Trên dãy Alps thuộc châu Âu có một loại tàu hoả chạy trên miền núi với tốc độ cao mà không dùng đến các bánh răng cưa. Để làm được điều này, các kỹ sư đã thiết kế và thi công các tuyến đường một cách vô cùng khoa học (đường núi nhưng độ dốc tối đa đạt 0,72%). Kết quả là không chỉ có những tuyến đường sắt thuận tiện, ở nhiều chỗ ta còn bắt gặp những công trình nghệ thuật thực sự, ảnh đoạn đường gần thị trấn Brusio (Thuỵ Sĩ) dưới đây:

Ảnh: @lifeandtravel.com

Có lẽ những người thiết kế cung đường này đã có những tính toán toán học hoàn hảo để các đoàn tàu có thể di chuyển an toàn. Cung đường cũng làm ta liên tưởng đến hình vẽ dưới đây:

Hình: đồ thị hàm số y = a * sqrt(b*x) với a = -3; b = -1;

Đồ thị là cách thể hiện hàm số trên hình vẽ 2 hoặc nhiều chiều. Hình xoắn ốc trên đây là đồ thị của hàm số y = a * sqrt(b * x) với a = -3 & b = -1; Đồ thị giúp ta hình dung rất nhiều khía cạnh của một hàm số. Một vài điểm có thể dễ dàng nhận biết trên đồ thị:

• Tính liên tục: khi đồ thị được biểu diễn bằng đường liền, không ngắt quãng
• Sự biến thiên: khi nào giá trị của hàm tăng, hay giảm phụ thuộc vào giá trị tăng của biến số
• Nghiệm số: khi nào hàm số có giá trị là 0
• Dương/âm: khi nào hàm số có giá trị dương (hoặc âm)
• Giới hạn: giá trị hàm số sẽ tiến đến đâu nếu biến số tiến đến một giá trị nào đó?
• Tốc độ thay đổi: hàm số sẽ thay đổi nhanh hay chậm nếu biến số thay đổi?
• Giá trị cực đại/cực tiểu: ở đâu thì giá trị hàm số là lớn nhất so với các điểm xung quanh?  

.... Có thể có những điểm khác nữa, chúng ta sẽ bàn cụ thể từng vấn đề liên quan sau. Trở lại với một câu hỏi trong bài viết trước: "có cách biểu diễn toán học nào cho hình ảnh rất ấn tượng của lá cây anh túc như trong ảnh dưới đây không"?

Hình: lá cây anh túc

Câu trả lời là có! Có một đồ thị hàm số thể hiện chính xác hình lá cây trên, đến nỗi đồ thị đó đã được đặt tên là: "marijuana leaf curve" theo tên của loài cây khét tiếng này:

Hình: Marijuana leaf curve

Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm thì đây là hàm số:

r = 1.5 * (1.0 + 0.9 * cos(8t)) * (1.0 + 0.1 * cos(24t)) * (0.9 + 0.05 * cos(200t)) * (1.0 + sin(t)) + 0.1

Liệu bạn có muốn tự mình kiểm tra xem đồ thị trên được vẽ chính xác hay không? :)) Có thể nghi ngờ, bạn hãy thử vẽ lại đồ thị của hàm số trên xem sao!