Lợi ích của việc mô phỏng & công thức hoá

Trong bài viết trước chúng ta đã xem xét khái niệm đạo hàm từ cách nhìn rất thực tiễn và dễ hiểu, việc đưa ra các khái niệm trong toán học có vẻ như làm cho vấn đề trở thành khó hiểu hơn. May thay đó mới chỉ là một khía cạnh.

Việc chuẩn hoá bằng các khái niệm toán học cũng có nhiều điểm lợi. Khái niệm hàm số vốn bắt đầu từ việc một đại lượng nào đó (ví dụ: doanh thu bán hàng) sẽ thay đổi theo sự thay đổi của một đại lượng khác (ví dụ: số lượng đơn vị hàng hoá bán ra). Nếu sự phụ này thuần tuý chỉ là các cặp số : doanh thu <-> số lượng mà không theo quy luật nào thì sẽ không có nhiều chuyện để bàn.

Trong thực tiễn, với những điều kiện nhất định, ví dụ như khoảng 1 tháng khi giá cả không thay đổi, thì khi đó doanh thu bán hàng sẽ là: "doanh thu" = "số lượng" x "giá bán", mà "giá bán" không đổi nên nó sẽ là một số cụ thể nào đó, ký kiệu là a. Để viết cho ngắn gọn ta ký hiệu "doanh thu" là y, còn"sốlượng" là x. Khi đó ta có hàm số: y = a * x (a ≠ 0).

Và việc ký hiệu như vậy không chỉ giúp ta viết ngắn gọn, nó còn giúp ta tìm ra những "quy luật" biến đổi của những giá trị liên quan. Ví dụ: khái niệm "độ dốc" (đạo hàm) trong trường hợp này có thể chứng minh là luôn luôn bằng giá trị a, như vậy đồ thị hàm số này là một đường thẳng. Nó đồng biến hay nghịch biến phụ thuộc vào việc a > 0 hay a < 0 mà không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của a.

Nói cách khác, nhiều yếu tố liên quan đến hàm biểu diễn sự phụ thuộc của doanh thu vào số lượng trong trường hợp giá cả không đổi là giống nhau, không phụ thuộc vào bản thân giá không đổi đó là bao nhiêu.

Đây chỉ là trường hợp đơn giản nhất, nếu quy luật phụ thuộc phức tạp hơn một chút, giả sử ta có hàm số y = a * x^2 (a ≠ 0), như hình vẽ dưới đây ta lần lượt lấy giá trị của a là 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, -1, -1/2, -1/3, -1/4, -1/5. Nghĩa là ta có 10 hàm số khác nhau. Thử quan sát đồ thị của chúng (a = 1 là đồ thị đậm, đường kẻ liền):

Đồ thị: y = a * x^2 {a = 1/k; k = -5 -> 5}

Rõ ràng là dù có đến 10 giá trị khác nhau của a; 5 giá trị > 0; 5 giá trị < 0 nhưng đồ thị của chúng có những điểm cơ bản rất giống nhau:

1) Tất cả đều có cùng hình dạng (parabol), chỉ có mức độ "béo/gầy" khác nhau. 5 Đồ thị hướng lên trên (a > 0) và 5 đồ thị hướng úp xuống dưới (a < 0).

2) Tất cả đều có điểm cực trị duy nhất tại điểm (0,0), với a > 0 thì đó là điểm cực tiểu còn với a < 0 thì đó là điểm cực đại.

3) Trong khoảng x < 0, hàm là đồng biến nếu a < 0, nghịch biến với a > 0. Còn trong khoảng x > 0 thì ngược lại.

Việc trừu tượng hoá một đại lượng cụ thể không đổi thành một khái niệm mới: hệ số chưa biết trước a, sẽ giúp cho việc nghiên cứu các tính chất của mọi hàm số có dạng y = a * x^2 trở nên đơn giản và hiệu quả hơn. Các nhà toán học không chỉ làm cho mọi việc thành khó hiểu, họ còn thường làm cho các vấn đề phức tạp trở thành đơn giản và mạch lạc hơn.