Một số công thức tính đạo hàm cơ bản

Như ta đã biết, đạo hàm của một hàm số là hàm số xác định "độ dốc" của đồ thị hàm số đã cho. Tất nhiên nếu ta có một con đường giống như đồ thì hàm số thì việc đo độ dốc đó tại mọi điểm cũng không hề dễ dàng. Rất may là với rất nhiều trường hợp, có thể xác định công thức chính xác của đạo hàm. Giả sử ta có hàm y = f(x), khi đó đạo hàm y' tại một điểm x1 nào đó có thể được tính gần đúng bằng công thức:

y'(x1) = f'(x1) = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)

Với x2 là các giá trị "rất gần với x1" (hay tiến gần đến x1). Công thức trên cũng được ký hiệu là dy/dx (với ý nghĩa là độ lệch của giá trị dy = (y2 - y1) chia cho độ lệch của giá trị dx = (x2 - x1)). Hãy cùng xem xét hình dưới đây:

Độ dốc tại điểm (x1, y1)

Ta thấy rằng độ dốc tại điểm (x1, y1) được xác định bằng góc giữa tiếp tuyến (t) tại điểm đó với trục hoành (trục nằm ngang). Còn giá trị (y2 - y1)/(x2 - x1) là tan của góc giữa đường thẳng (l) đi qua (x1, y1) và (x2, y2). Khi điểm (x2, y2) chạy trên độ thị tiến tới điểm (x1, y1) thì đường thẳng (l) sẽ tiến dần tới trùng với đường thẳng (t).

Nói cách khác y' = (y2 - y1)/(x2 - x1) khi x2 -> x1 hay y' = lim (y2 - y1)/(x2 - x1) khi x2 -> x1. Với công thức này ta dễ dàng xác định được đạo hàm của nhiều loại hàm số cơ bản (a, b, c,... là tham số):

Các hàm đa thức

y(x) = ax + b;                 y'(x) = a;
y(x) = ax^2 + bx + c;          y'(x) = 2ax + b;
y(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d;   y'(x) = 3ax^2 + 2bx + c;
........

Hàm lượng giác

y(x) = sin(ax);                y'(x) = a * cos(ax)
y(x) = cos(ax);                y'(x) = -a * sin(ax)
y(x) = tan(x);                 y'(x) = 1/(cos(x)^2)
.....

Các phép toán

y(x) = a * f(x) + b * g(x);    y'(x) = a * f'(x) + b * g'(x)
y(x) = f(x)/g(x);    y'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x))/(g(x)^2)
y(x) = f(x) * g(x);  y'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Từ các công thức cơ bản & phép toán ta có thể dễ dàng xác định đạo hàm của nhiều hàm số thường gặp trong chương trình phổ thông. Ví dụ nếu ta có hàm:


y(x) = x^2 + sin(x)

Khi đó đạo hàm sẽ là:

y'(x) = 2x + cos(x)

Đối với các loại hàm số như hàm số mũ, hàm logarit,.. vấn đề cũng tương tự. Nhưng do khó trình bày công thức dưới dạng văn bản hơn nên các bạn sẽ tự tìm hiểu! :))

AppStore: Ứng dụng Hàm số và Đồ thị 2.0 (PRO)

Phiên bản ứng dụng "Hàm số và Đồ thị", phiên bản PRO 2.0 đã có trên Apple AppStore. So với phiên bản FREE, phiên bản này có các tính năng bổ sung:

1) Không có các banner quảng cáo
2) Kết xuất với kích thước hình ảnh lớn
3) Có thể gắn các điểm vào đồ thị
4) Có thể ghi lại công thức để tái sử dụng

Ngoài ra, có một số chỉnh sửa về ngôn ngữ cho cả 2 phiên bản. Người sử dụng có thể sử dụng tính năng cập nhật như hình dưới đây mà không cần phải download lại ứng dụng. Những người sử dụng đã có phiên bản cũ, được nâng cấp miễn phí.

Phiên bản PRO có giá 2.99$, download tại đây: "Hàm số và Đồ thị PRO".

Hàm số & đồ thị hình hoa: r(t) = m * cos(t * n) + a

Có những hàm số mà đồ thị của chúng thật đẹp. Một ví dụ nổi tiếng trong giới toán học là các đồ thị hình hoa (rose style curves). Các hàm số loại này có chung công thức:

r(t) = m * cos(t * n) + a

Điều đặc biệt là tuy có chung công thức, nhưng khi các tham số thay đổi. Hình dạng của đồ thị sẽ thay đổi rất nhanh, có thể hoàn toàn không giống như các đồ thị khác. Một số ví dụ cụ thể:

Đồ thị với: m = 3; a = 0; n = 7

Đồ thị với m = 2; a = 1.5; n = 7/2

Đồ thị với m = 2; a = 1.5; n = 7/5

Đẹp lung linh. Bạn thử đoán xem công thức của đồ thị dưới đây là gì?

Giới thiệu: tools vẽ đồ thị & khảo sát hàm số trên iPhone/iPad

Có một số công cụ vẽ đồ thị & khảo sát hàm số trên máy tính và trên thiết bị di động đáp ứng những nhu cầu & đối tượng khác nhau. Có thể kể đến các công cụ sau:

• IntMath: bộ công cụ online, bạn có thể sử dụng miễn phí trên website. Vẽ các đồ thị khá tốt và hiệu quả. Chưa hỗ trợ lưu trữ và các hàm số có chứa tham số không biết trước.
• Wolfram: là bộ công cụ mạnh, có thể vẽ các mặt (hàm 2 biến). Sử dụng tương đối phức tạp dù có các phiên bản ứng dụng trên thiết bị di động. Chưa hỗ trợ công thức có tham số.
• Graph Calculator: một số công cụ vẽ đồ thị trên thiết bị di động. Thường sử dụng đơn giản hơn nhưng không hỗ trợ tham số.

"Math Functions and Graphs" - Màn hình chính (iPad), phiên bản 2.0

Bài viết này giới thiệu ứng dụng cho iPhone/iPad: "Math Functions and Graphs". Một ứng dụng từ Việt Nam, đã có từ tháng 4 năm 2014. Tuy nhiên phiên bản đầu tiên tương đối hạn chế, chỉ hỗ trợ các hàm đa thức và hàm hữu tỷ. Phiên bản 2.0 vừa được giới thiệu trên AppStore, có những cải tiến căn bản:

Các dạng hàm số cơ bản 

Phiên bản 2.0 hỗ trợ hầu hết các loại hàm số có trong chương trình phổ thông của Việt Nam cũng như của rất nhiều nước tiên tiến: Anh, Mỹ, Nga, Đức, Pháp,.... Người sử dụng có thể sử dụng với các dạng hàm số sin(), cos(), sinh(), tanh(), abs(), log(), ln(), sqrt(), exp(),... đơn lẻ hoặc tổ hợp của chúng.

Kết xuất đồ thị hàm số, dạng hàm hữu tỷ

Các dạng đồ thị phức tạp

Không chỉ hỗ trợ các dạng đồ thị có công thức dạng:  y = f(x) hay x = f(y) mà còn hỗ trợ các dạng đồ thị trong đó x,y phụ thuộc vào biến thứ 3: x = x(t); y = y(t). Hơn nữa hỗ trợ các đồ thị dạng r = r(t) đường dùng nhiều cho các đồ thị hình xoắn ốc hoặc các dạng đồ thị đặc biệt khác.

Kết xuất đồ thị hàm số. Dạng hàm r = r(t)

Hỗ trợ ngôn ngữ người sử dụng

Giao diện của phiên bản 2.0 hỗ trợ 11 ngôn ngữ phổ biến bao gồm: tiếng Anh, tiếng Việt, tiếng Nga, tiếng Nhật, tiếng Trung, tiếng Hàn quốc, tiếng Đức, tiếng Pháp, tiếng Bồ Đào Nha, Tây Ban Nha, tiếng Ý. Phần hướng dẫn sử dụng cũng từng bước được bổ sung cho các ngôn ngữ trên. Hiện đã có tiếng Anh, tiếng Việt, tiếng Nga, tiếng Đức. Khi dữ liệu sẵn sàng, người sử dụng có thể download hỗ trợ ngôn ngữ mà không cần đợi phiên bản ứng dụng mới.

Lựa chọn ngôn ngữ sử dụng

Cập nhật hàm số thuận tiện

Ứng dụng lập sẵn nhiều dạng hàm số cơ bản, người sử dụng có thể chọn các hàm số đó chỉ cẩn thay đổi theo yêu cầu hoặc nhập giá trị cho các các tham số của mình. Cũng có thể tạo mới hoàn toàn với các công thức dựa trên các hàm toán học. Bàn phím cập nhật được thiết kế đồng nhất cho các thiết bị iPhone từ 4S đến iPhone 6 Plus và iPad.

Màn hình cập nhật công thức

Ứng dụng sử dụng công thức chuẩn dạng text trên web, quen thuộc với hầu hết người sử dụng.

Phiên bản miễn phí

Phần lớn các chức năng được hỗ trợ trong phiên bản miễn phí ngoài một số hạn chế. Nếu muốn người sử dụng có thể nâng cấp lên phiên bản chuyên nghiệp (Math Functions and Graphs PRO) để khai thác toàn bộ chức năng của ứng dụng, đồng thời loại bỏ các banner quảng cáo (xuất hiện trong một số màn hình của phiên bản miễn phí).

Tự động cài đặt ngôn ngữ

Khi được tải về và khởi động, ứng dụng sẽ dựa trên ngôn ngữ cài đặt trên thiết bị của người sử dụng để tự động thiết lập cấu hình ngôn ngữ và tải về các dữ liệu ngôn ngữ cần thiết. Người sử dụng cũng có thể chủ động kiểm tra và tải về các thiết lập ngôn ngữ mới nếu có.

 

Phiên bản miễn phí của ứng dụng có thể tải về từ:

1) Apple AppStore

2) AppVN - Kho ứng dụng Việt (máy JB)

Lợi ích của việc mô phỏng & công thức hoá

Trong bài viết trước chúng ta đã xem xét khái niệm đạo hàm từ cách nhìn rất thực tiễn và dễ hiểu, việc đưa ra các khái niệm trong toán học có vẻ như làm cho vấn đề trở thành khó hiểu hơn. May thay đó mới chỉ là một khía cạnh.

Việc chuẩn hoá bằng các khái niệm toán học cũng có nhiều điểm lợi. Khái niệm hàm số vốn bắt đầu từ việc một đại lượng nào đó (ví dụ: doanh thu bán hàng) sẽ thay đổi theo sự thay đổi của một đại lượng khác (ví dụ: số lượng đơn vị hàng hoá bán ra). Nếu sự phụ này thuần tuý chỉ là các cặp số : doanh thu <-> số lượng mà không theo quy luật nào thì sẽ không có nhiều chuyện để bàn.

Trong thực tiễn, với những điều kiện nhất định, ví dụ như khoảng 1 tháng khi giá cả không thay đổi, thì khi đó doanh thu bán hàng sẽ là: "doanh thu" = "số lượng" x "giá bán", mà "giá bán" không đổi nên nó sẽ là một số cụ thể nào đó, ký kiệu là a. Để viết cho ngắn gọn ta ký hiệu "doanh thu" là y, còn"sốlượng" là x. Khi đó ta có hàm số: y = a * x (a ≠ 0).

Và việc ký hiệu như vậy không chỉ giúp ta viết ngắn gọn, nó còn giúp ta tìm ra những "quy luật" biến đổi của những giá trị liên quan. Ví dụ: khái niệm "độ dốc" (đạo hàm) trong trường hợp này có thể chứng minh là luôn luôn bằng giá trị a, như vậy đồ thị hàm số này là một đường thẳng. Nó đồng biến hay nghịch biến phụ thuộc vào việc a > 0 hay a < 0 mà không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của a.

Nói cách khác, nhiều yếu tố liên quan đến hàm biểu diễn sự phụ thuộc của doanh thu vào số lượng trong trường hợp giá cả không đổi là giống nhau, không phụ thuộc vào bản thân giá không đổi đó là bao nhiêu.

Đây chỉ là trường hợp đơn giản nhất, nếu quy luật phụ thuộc phức tạp hơn một chút, giả sử ta có hàm số y = a * x^2 (a ≠ 0), như hình vẽ dưới đây ta lần lượt lấy giá trị của a là 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, -1, -1/2, -1/3, -1/4, -1/5. Nghĩa là ta có 10 hàm số khác nhau. Thử quan sát đồ thị của chúng (a = 1 là đồ thị đậm, đường kẻ liền):

Đồ thị: y = a * x^2 {a = 1/k; k = -5 -> 5}

Rõ ràng là dù có đến 10 giá trị khác nhau của a; 5 giá trị > 0; 5 giá trị < 0 nhưng đồ thị của chúng có những điểm cơ bản rất giống nhau:

1) Tất cả đều có cùng hình dạng (parabol), chỉ có mức độ "béo/gầy" khác nhau. 5 Đồ thị hướng lên trên (a > 0) và 5 đồ thị hướng úp xuống dưới (a < 0).

2) Tất cả đều có điểm cực trị duy nhất tại điểm (0,0), với a > 0 thì đó là điểm cực tiểu còn với a < 0 thì đó là điểm cực đại.

3) Trong khoảng x < 0, hàm là đồng biến nếu a < 0, nghịch biến với a > 0. Còn trong khoảng x > 0 thì ngược lại.

Việc trừu tượng hoá một đại lượng cụ thể không đổi thành một khái niệm mới: hệ số chưa biết trước a, sẽ giúp cho việc nghiên cứu các tính chất của mọi hàm số có dạng y = a * x^2 trở nên đơn giản và hiệu quả hơn. Các nhà toán học không chỉ làm cho mọi việc thành khó hiểu, họ còn thường làm cho các vấn đề phức tạp trở thành đơn giản và mạch lạc hơn.

Đạo hàm - trừu tượng hoá những khái niệm đơn giản

Toán học được coi là khoa học của các loại khoa học không phải vì nó khó hơn hay nó "khoa học" hơn các ngành khoa học khác. Ngược lại có lẽ vì nó dễ nhất, nên con người tiếp cận đến được sớm nhất và vì vậy có cơ hội nhiều hơn trong việc đưa ra các khái niệm trừu tượng so với các khoa học khác. Ví dụ thế này: trẻ em được tiếp cận với toán học từ 3-4 tuổi, trong khi đó phải học đến lớp 8-9 mới lần đầu tiên được làm quen với môn hoá học.

Rõ ràng để đếm hay cộng trừ, dễ hơn tìm hiểu xem không khí gồm những chất gì hay là công thức của phân tử nước nó như thế nào?

Thế tại sao người ta lại ngại (hoặc đôi khi là tôn sùng) môn toán? Một trong những lý do có thể là do được sớm tiếp cận, hơn nữa là không cần nhiều công cụ (như các phòng thí nghiệm chẳng hạn) nên các nhà toán học hay đưa ra các khái niệm trừu tượng để mô tả các sự việc vốn rất cụ thể và dễ hiểu.

Đạo hàm là một ví dụ rất rõ ràng minh chứng cho điều này

Hãy nhìn vào hình vẽ dưới đây, đồ thị của một đa thức bậc 3: y = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d,

Đồ thị của đa thức bậc 3

Thực ra, đây có thể hiểu đơn giản như là con đường đi qua mấy quả đồi. Ai đã từng đi đường đồi hay đường dốc thì đều hiểu, ở đây có mấy khái niệm mà bất kỳ ai cũng phải quan tâm:

Độ dốc

Trước khi đi vào đoạn đường đồi, ai cũng phải quan sát xem độ dốc của đoạn đường đó thế nào? Dốc lên hay dốc xuống? Nếu là đi xe ô tô chẳng hạn thì liệu độ dốc có vượt quá giới hạn cho phép của loại xe đang lái hay không? Trong toán học thì hàm số biểu diễn độ dốc này được gọi là "đạo hàm". Rất dễ hiểu. Đạo hàm tại điểm C, đơn giản là độ dốc của con đường (đồ thị) tại điểm đó, và đường thẳng đi qua điểm C, tiếp xúc với mặt đường thì được gọi là tiếp tuyến tại điểm C.

Đỉnh đồi và đáy thung lũng (điểm A, điểm B)

Đây là những điểm mà nếu đang đi lên thì tiếp theo sẽ là đi xuống, còn nếu đang đi xuống thì sau đó phải đi lên. Người ta hay ngồi nghỉ ở đó, chẳng phải do phong cảnh đẹp mà là do dễ dừng ở đó nhất, bởi vì độ dốc ở đó bằng 0 (đây là những chỗ mà đường không dốc). Những điểm dừng chân để nghỉ mà không lo bị trượt xuống này, được gọi là các điểm cực trị. Đỉnh dốc gọi là cực đại, đáy thung lũng thì gọi là điểm cực tiểu.

Chú ý: Đôi khi có những điểm không dốc ở sườn núi, cũng nghỉ được nhưng không phải đỉnh, không phải đáy - những điểm đó không phải là cực trị.

Đường lên dốc

Trong hình là trước điểm A và sau điểm B. Đây là những đoạn phải leo lên, mệt nhất! Càng dốc thì càng mệt và càng mất nhiều công sức để leo lên. Trên toàn bộ quãng đường đó nếu toàn là lên dốc (có thể có các điểm nằm ngang nhưng sau đó lại lên dốc) thì được gọi là hàm số "đồng biến". Tại đó độ dốc luôn lớn hơn hoặc bằng 0 (hay đạo hàm, ký hiệu là y' >= 0).

Đường xuống dốc (từ điểm A đến điểm B)

Là ngược lại với việc lên dốc. Xuống dốc nói chung là dễ hơn lên, mất ít năng lượng hơn (nhưng thường xuyên phải để ý tránh trượt ngã hoặc mất phanh). Trên đoạn đường này độ dốc nhỏ hơn hoặc bằng 0. Hàm số được gọi là "nghịch biến", còn đạo hàm y' <= 0.

Tóm lại là cũng không có gì đáng ngại, để hiểu rõ khái niệm đạo hàm, điểm cực trị, đồng biến hay nghịch biến đơn giản là cứ tìm mấy quả đồi rồi leo lên leo xuống vài lần. Hơi mệt chút, nhưng chắc vẫn đỡ hơn nhiều khi vật lộn với những công thức kiểu tính giới hạn lim [(y - y0)/(x - x0)] với x -> x0! Còn dưới đây là một con đường khác, với đồ thị hình sin!

Tiếp tuyến, cực trị của đồ thị hàm số dạng: y = a * sin(x)

Vui: thế nào là một nhà toán học?

Chắc chắn là nhà toán học!

Có hai người bị lạc trên một khinh khí cầu. Họ bay qua một ngọn đồi và nhìn thấy hai người khác đang tranh luận với nhau rất hăng. Một người hỏi xuống: "các anh cho hỏi chúng tôi đang ở đâu?". Hai người bên dưới nhìn lên rồi lại tranh luận tiếp.

Gió thổi khinh khí cầu bay đi, lúc đó một người ở dưới mới vọng lên: "Các anh đang ở trên một chiếc khinh khí cầu!". Người trên khinh khí cầu nói: "chắc chắn hai ông bên dưới là các nhà toán học!". "Sao anh biết?", người đồng hành hỏi lại.

"Thứ nhất: chỉ có những nhà toán học mới luôn luôn cãi nhau"
"Thứ hai: họ bao giờ cũng tranh luận kỹ rồi mới đưa ra câu trả lời"
"Thứ ba: câu trả lời của họ bao giờ cũng vô cùng chính xác"
"Thứ tư: những câu trả lời chính xác đó thường vô dụng!"

Khinh khí cầu - Hình chỉ có tính minh hoạ

Giải pháp toán học

Sự khác nhau cơ bản giữa nhà toán học và nhà vật lý là ở chỗ, nếu được hỏi làm thế nào để nhổ cái đinh đã đóng một nửa vào miếng gỗ? Thì nhà vật lý sẽ chứng minh rằng, nếu được nhổ với một lực là N mà N lớn hơn tổng ma sát cũng như các lực ép khác của miếng gỗ lên cái đinh, thì cái đinh sẽ được nhổ ra.

Còn các nhà toán học trước hết sẽ chứng minh rằng ngay cả khi cái đinh được đóng ngập vào miếng gỗ thì cũng vẫn nhổ ra được. Sau đó họ chứng minh tiếp là có thể đóng cái đinh cắm một nửa ngập vào miếng gỗ với mệnh đề khét tiếng "đưa bài toán trở về bài toán ban đầu"!

(ST)